利用极坐标计算二重积分

ff√R^2-X^2-y^2 其中D为圆域X^2+y^2=<RX 求详细步骤望大侠解答

2026年08月28日 05:19

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网友（1）：

X^2+y^2=
∫∫√R^2-X^2-y^2=∫[-π/2≤θ≤π/2] dθ ∫ [0≤ρ≤Rcos θ] √(R^2-ρ^2)ρdρ
=2∫[0≤θ≤π/2] ∫ [0≤ρ≤Rcos θ] √(R^2-ρ^2)ρdρ

令ρ=Rcost 则∫ [0≤ρ≤Rcos θ] √(R^2-ρ^2)ρdρ
=∫ [π/2≥t≥ θ] RsintRcost(-Rsint)dt=R³∫ [θ≤t≤π/2] sin²tdsint=R³[sin³(π/2)-sin³(θ)]/3
=R³[1-sin³(θ)]/3

∫∫√R^2-X^2-y^2=(2/3)R³∫[0≤θ≤π/2] [1-sin³(θ)] dθ=(2/3)R³(π/2-2/3)=2R³(3π-4)/9